Question

如图，⊙O的半径为5，∠PAQ=90°，AP切⊙O于点T，AQ交O于B，C点．
（1）求证：BT平分∠ABO；
（2）AT=4，请求出AB的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OT，求出AB∥OT，推出∠TBA=∠BTO，求出∠OBT=∠TBA，即可得出答案；
（2）过点B作BH⊥OT于H，根据勾股定理求出OH，代入AB=HT=OT-OH求出即可．

解答：（1）证明：连接OT，
∵AT是切线，
∴OT⊥AP，
∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，
∴AB∥OT，
∴∠TBA=∠BTO，
∵OT=OB，
∴∠OTA=∠OBT，
∴∠OBT=∠TBA，
即BT平分∠OBA；

（2）解：过点B作BH⊥OT于H，
则在Rt△OBH中，OB=5，BH=AT=4，由勾股定理得：OH=3，
则AB=HT=5-3=2．

点评：本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，注意：圆的切线垂直于过切点的半径，题目综合性比较强，难度适中．