题目内容
如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，点P的运动速度是点Q的5倍，设运动的时间为t秒．点Q的横坐标x（单位长度）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示．
（1）请写出点Q开始运动时的坐标及点P的运动速度；
（2）当点P在边AB上运动时，求△OPQ的面积最大时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D→A匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，直接写出所有符合条件的t的值．
（1）请写出点Q开始运动时的坐标及点P的运动速度；
（2）当点P在边AB上运动时，求△OPQ的面积最大时点P的坐标；
（3）如果点P，Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D→A匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，直接写出所有符合条件的t的值．
考点：相似形综合题,二次函数的最值,全等三角形的判定与性质,勾股定理,正方形的性质,相似三角形的判定与性质
专题：压轴题
分析：（1）由图②易求出点Q的坐标及点Q的速度，就可得到点P的速度．
（2）由点A、B的坐标可求出正方形的边长，易证△APM∽△ABF，从而得到AM=3t，PM=4t，从而有PN=OM=10-3t，ON=PM=4t，由于OQ=1+t，因此△OPQ的面积可用t的代数式表示，然后利用二次函数的最值性就可求出△OPQ的面积最大时点P的坐标．
（3）由OP=PQ，PN⊥OQ得ON=NQ=
OQ，即xP=
xQ．然后分四种情况进行讨论（点P分别在AB、BC、CD、DA上），利用相似三角形的性质将点P的横坐标用t的代数式表示出来，然后根据xP=
xQ建立方程，就可求出t的值．
（2）由点A、B的坐标可求出正方形的边长，易证△APM∽△ABF，从而得到AM=3t，PM=4t，从而有PN=OM=10-3t，ON=PM=4t，由于OQ=1+t，因此△OPQ的面积可用t的代数式表示，然后利用二次函数的最值性就可求出△OPQ的面积最大时点P的坐标．
（3）由OP=PQ，PN⊥OQ得ON=NQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）由图②可知：
当t=0时，x=1，此时点Q的坐标为（1，0）；VQ=
=1（单位长度/秒）
∵点P的运动速度是点Q的5倍，
∴点P运动速度为每秒钟5个单位长度．
（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，如图①，
则BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，AB=
=10．
过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
如图①，
∴PM∥BF．
∴△APM∽△ABF．
∴
=
=
．
∴
=
=
．
∴AM=3t，PM=4t．
∴PN=OM=10-3t，ON=PM=4t．
设△OPQ的面积为S（平方单位），
则S=
(10-3t)(1+t)=-
t2+
t+5（0≤t≤2）．
∵a=-
＜0，
∴当t=-
=
时，△OPQ的面积S最大．
此时PM=4×
=
，OM=10-3×
=
，
则P的坐标为（
，
）．
（3）∵OP=PQ，PN⊥OQ，
∴ON=NQ=
OQ．
∴xP=
xQ．
①当点P在AB上时，此时0≤t≤2，如图①，
4t=
（1+t）．
解得：t=
．
∵0≤
≤2，
∴t=
符合要求．
②当点P在BC上时，此时2＜t≤4．
过点P作PK⊥BF交于K，如图③，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°．
∴∠ABF=90°-∠PBK=∠BPK．
∵∠AFB=∠PKB=90°，
∴△AFB∽△BKP．
∴
=
．
∴
=
．
∴BK=3t-6．
∴xP=8+3t-6=3t+2．
∴3t+2=
（1+t）．
解得：t=-
∵-
＜2，
∴t=-
不符合要求，故舍去．
③当点P在DC上时，此时4＜t≤6．
过点C作CH⊥BF交于H，过点P作PS⊥CH交于点S，如图④，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵∠AFB=∠BHC=90°，
∴∠ABF=90°-∠CBH=∠BCH．
在△AFB和△BHC中，
．
∴△AFB≌△BHC．
∴BH=AF=6，CH=BF=8．
同理可得：PS=4t-16．（与②中求BK的方法相同）
∴xP=8+6-（4t-16）=30-4t．
∴30-4t=
（1+t）．
解得：t=
．
∵
＞6，
∴t=
不符合要求，故舍去．
④当点P在AD上时，此时6＜t≤8．
过点P作PT⊥AF交于T，如图⑤，
同理可得：PT=24-3t．（与②中求BK的方法相同）
∴xP=24-3t．
∴24-3t=
（1+t）．
解得：t=
．
∵6≤
≤8，
∴t=
符合要求．
综上所述：当t=
或t=
时，OP与PQ相等．
当t=0时，x=1，此时点Q的坐标为（1，0）；VQ=
| 9-1 |
| 8 |
∵点P的运动速度是点Q的5倍，
∴点P运动速度为每秒钟5个单位长度．
（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，如图①，
则BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，AB=
| 82+62 |
过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
如图①，∴PM∥BF．
∴△APM∽△ABF．
∴
| AP |
| AB |
| AM |
| AF |
| MP |
| BF |
∴
| 5t |
| 10 |
| AM |
| 6 |
| MP |
| 8 |
∴AM=3t，PM=4t．
∴PN=OM=10-3t，ON=PM=4t．
设△OPQ的面积为S（平方单位），
则S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
∵a=-
| 3 |
| 2 |
∴当t=-
| ||
2×(-
|
| 7 |
| 6 |
此时PM=4×
| 7 |
| 6 |
| 14 |
| 3 |
| 7 |
| 6 |
| 13 |
| 2 |
则P的坐标为（
| 14 |
| 3 |
| 13 |
| 2 |
（3）∵OP=PQ，PN⊥OQ，
∴ON=NQ=
| 1 |
| 2 |
∴xP=
| 1 |
| 2 |
①当点P在AB上时，此时0≤t≤2，如图①，
4t=
| 1 |
| 2 |
解得：t=
| 1 |
| 7 |
∵0≤
| 1 |
| 7 |
∴t=
| 1 |
| 7 |
②当点P在BC上时，此时2＜t≤4．
过点P作PK⊥BF交于K，如图③，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°．
∴∠ABF=90°-∠PBK=∠BPK．
∵∠AFB=∠PKB=90°，
∴△AFB∽△BKP．
∴
| AB |
| BP |
| AF |
| BK |
∴
| 10 |
| 5t-10 |
| 6 |
| BK |
∴BK=3t-6．
∴xP=8+3t-6=3t+2．
∴3t+2=
| 1 |
| 2 |
解得：t=-
| 3 |
| 5 |
∵-
| 3 |
| 5 |
∴t=-
| 3 |
| 5 |
③当点P在DC上时，此时4＜t≤6．
过点C作CH⊥BF交于H，过点P作PS⊥CH交于点S，如图④，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵∠AFB=∠BHC=90°，
∴∠ABF=90°-∠CBH=∠BCH．
在△AFB和△BHC中，
|
∴△AFB≌△BHC．
∴BH=AF=6，CH=BF=8．
同理可得：PS=4t-16．（与②中求BK的方法相同）
∴xP=8+6-（4t-16）=30-4t．
∴30-4t=
| 1 |
| 2 |
解得：t=
| 59 |
| 9 |
∵
| 59 |
| 9 |
∴t=
| 59 |
| 9 |
④当点P在AD上时，此时6＜t≤8．
过点P作PT⊥AF交于T，如图⑤，
同理可得：PT=24-3t．（与②中求BK的方法相同）
∴xP=24-3t．
∴24-3t=
| 1 |
| 2 |
解得：t=
| 47 |
| 7 |
∵6≤
| 47 |
| 7 |
∴t=
| 47 |
| 7 |
综上所述：当t=
| 1 |
| 7 |
| 47 |
| 7 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，综合性强，有一定的难度．而分情况讨论时可能会出现因没有考虑t的取值范围而出现多解的错误，需给予重视．
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| ||
| B、500m | ||
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| ||
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