Question

如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上的点，以BC、AB为边作?ABCD，⊙O交AD于点E，连结BE，点P为过点B的⊙O的切线上一点，连结PE，且满足∠PEA=∠ABE．
（1）求证：PB=PE；
（2）若sin∠P=

3

5

，求

DE

DC

的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据切线的性质求得∠ABP=∠AEB，根据已知条件即可求得∠PBE=∠PEB，根据等角对等边即可证明结论；
（2）连接EC，延长DA交PB于F，根据平行弦的性质得出

AB

=

CE

，进而求得AB=CE=CD，得出三角形CED是等腰三角形，在等腰三角形PBE中根据勾股定理求得BE的长，进而求得

BE

PE

=

10

5

，由于∠AEB=∠EBC，∠ABP=∠AEB，得出∠ABP=∠EBC，从而得出∠PBE=∠ABC=∠D，求得△CDE∽△PBE，得出

DE

DC

=

BE

PE

=

10

5

；

解答：解：（1）证明：∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP=∠AEB，
∵∠PEA=∠ABE．
∴∠PBE=∠PEB，
∴PB=PE；

（2）连接EC，延长DA交PB于F，
∵PB是⊙O的切线，
∴BC⊥PB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴EF⊥PB，
∵sin∠P=

3

5

，
设PE=5a，EF=3a，则PF=4a，
∵PB=PE=5a，
∴BF=a，
∴BE=

BF2+EF2

=

10

a，
∴

BE

PE

=

10

5

，
∵AD∥BC，
∴

AB

=

CE

，
∴AB=CE，
∵AB=CD，
∴CE=CD，
∴∠D=∠CED，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABP=∠AEB，
∴∠ABP=∠EBC，
∴∠PBE=∠ABC，
∴∠PBE=∠D，
∵∠PBE=∠PEB，
∴△CDE∽△PBE，
∴

DE

DC

=

BE

PE

=

10

5

；

点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的性质，平行弦的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，本题的关键是求得三角形相似；