Question

18．已知在长方形ABCD中，AB=4，BC=12，O为BC上一点，BO=3．如图所示，O为坐标原点建立平面直角坐标系．若点M坐标为（5，0），点N在长方形边上，且△OMN为等腰三角形，求出所有符合要求的点N的坐标．

Answer 1

分析 分情况讨论：①当NO=NM时；②当OM=ON时；③当MO=MN时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点N的坐标．

解答 解：①当NO=NM时，点N在OM的垂直平分线上，
故点N的坐标为：（2.5，4）；
②当OM=ON时：
则OM=ON=5，$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
则点N的坐标为：（-3，4），（3，4）；
③当MO=MN时：
则MO=MN=5，$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
5-3=2，5+3=8
则点N的坐标为：（2，4），（8，4），（9，3）．
综上所述：点N的坐标为：（2.5，4），或（-3，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4），或（9，3）．

点评 本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．