Question

已知：抛物线f：y=-（x-2）²+5，试写出把抛物线f向左平移2个单位后，所得的新抛物线f₁的解析式，以及f关于x轴对称的曲线f₂解析式，画出f₁和f₂的略图，并求：
（1）x的值在什么范围，抛物线f₁和f₂都是下降的；
（2）x的值在什么范围，曲线f₁和f₂围成一个封闭图形；
（3）求在f₁和f₂围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：根据平移规律和关于x轴对称的图象的特点求得f₁和f₂的解析式；
（1）根据抛物线的增减性回答问题；
（2）根据图象直接回答问题；
（3）封闭图形上，平行于y轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差．在区间-1≤x≤3内，设f₁上的点P₁（x，y₁），f₂上的点
P₂（x，y₂），求y₁-y₂的最大值，可用配方法．

解答：解：∵抛物线f：y=-（x-2）²+5的顶点坐标是（2，5），
∴把抛物线f向左平移2个单位后的顶点坐标是（0，5），
∴抛物线f₁：y=-x²+5．
又∵抛物线f与f₂关于x轴对称，则抛物线f₂：y=（x-2）²-5．
它们在平面直角坐标系中的大致图象如下：

（1）根据图示知，当0＜x＜2时，曲线f₁和f₂都是下降的．

（2）依题意得-x²+5=（x-2）²-5，
整理，得
（x+1）（x-3）=0．
解得 x₁=-1，x₂=3．
则当-1≤x≤3时，曲线f₁和f₂围成一个封闭图形．

（3）设f₁上的点P₁（x，y₁），f₂上的点P₂（x，y₂），则
|y₁-y₂|=（-x²+5）-[（x-2）²-5]
=-2x²+4x+6　
=-2（x-1）²+8．
∵-2＜0，
∴|y₁-y₂|有最大值．
当x=1时，|y₁-y₂|的值最大是8．即线段长度的最大值是8．

点评：本题考查了二次函数图象的几何变换．对于函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程组求抛物线交点的坐标．