Question

如图，已知∠AOB=60°，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA=2，MB=11，求OM的长．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：

分析：延长OA，BM，相交于点P，在直角△POB中，∠P=90°-∠AOB=90°-60°=30°，∠P=30°，根据直角三角形当中30°所对直角边是斜边一半，于是PM=2AM=2×2=4，于是PB=PM+MB=4+11=15，于是在直角△OPB中知道PB=15，∠AOB=60°，于是设OB=x，那么PO=2OB=2x，然后根据勾股定理得：OB²+PB²=PO²，进而可求x的值，即OB的值，最后在直角三角形OMB中，根据勾股定理可得：OM²=OB²+MB²，进而可求OM的值．

解答：解：如图所示，延长OA，BM，相交于点P，

∵MB⊥OB于点B，MA⊥OA于点A
∴∠B=90°，∠PAM=90°，且△POB与△PAM都是直角三角形，
在直角△OPB中，
∵∠AOB=60°，
∴∠P=30°，
∴PM=2AM=4，OP=2OB，
∴PB=PM+BM=4+11=15，
设OB=x，则PO=2OB=2x，
由根据勾股定理得：OB²+PB²=PO²，
即x²+15²=（2x）²，
解得：x=5

3

，即OB=5

3

，
在直角三角形OMB中，
根据勾股定理可得：OM²=OB²+MB²，
即：OM²=（5

3

）²+11²=196，
∴OM=14．

点评：此题考查了含30°角的直角三角形的有关知识，解题的关键是：正确添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理解答．