Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、F，连接BD交0F于点E．
（1）求证：0F⊥BD；  
（2）若AB=

5

2

，DF=

5

2

，求AD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：

分析：（1）连接AF．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；
（2）设AD=x．根据圆周角定理的推论和勾股定理进行求解．

解答：解：（1）证明：连接AF，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴FC=FB．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠OEB=∠ADB=90°，
∴OF⊥BD．
（2）设AD=x，
∵OF⊥BD，
∴可得OF是BD的中垂线，
∴FD=FB，
∴∠1=∠2，
∴BF=DF=

5

2

，
∵OF⊥DB，
∴ED=EB．
∴OE=

1

2

AE=

1

2

x，FE=OF-OE=

5

4

-

1

2

x，
在Rt△FEB中，BE²=EB²-FE²=(

5

2

)2-(

5

4

-

1

2

x)2；
在Rt△OFB中，BE²=OB²-OE²=(

5

4

)2-(

1

2

x)2；
∴(

5

2

)2-(

5

4

-

1

2

x)2=(

5

4

)2-(

1

2

x)2；
解得x=

3

2

，即AD=

3

2

．

点评：此题考查了圆周角定理的推理、勾股定理以及等腰三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力．