Question

等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，且AB=BC，P为AC上一点，以BP为直角边向上作等腰Rt△BPD，∠BPD=90°．
（1）求证：AD⊥AB；  
（2）连接DC，E为CD中点，连接PE，求证：AD=2PE； 
（3）PE=1，PC=

2

，求AB的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据∠BAC=∠BDP，∠AFB=∠DFP，证出△AFB∽△DFP，得出

AF

FB

=

DF

FP

，再根据∠AFD=∠BFP，证出△AFD∽△BFP，得出∠FAD=∠FBP=45°，∠BAD=90°，从而得出AD⊥AB；
（2）过点P作MN⊥AD的延长线于N，MN⊥BC于M，交DC于E′，过点C作CK⊥AD的延长线于K，DJ⊥AD，交AC于J，得出AD=DJ，四边形ABCK是正方形，四边形NMCK是矩形，△APB≌△APK，再证出PK=PB，PK=PD，DN=NK，根据△E′DN≌△E′MC，得出DE′=E′C，E、E′重合，根据PE∥DJ，ED=EC，得出JP=PC，PE=

1

2

DJ=

1

2

AD，从而证出AD=2PE；
（3）由（2）可知：AD=2PF=2，根据PC=

2

，求出MC=1，DN=NK=1，最后根据AB=AK即可得出答案．

解答：证明：
（1）∵△ABC、△BDP是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BDP=45°，
∵∠AFB=∠DFP，
∴△AFB∽△DFP，
∴

AF

DF

=

FB

FP

，
∴

AF

FB

=

DF

FP

，
∵∠AFD=∠BFP，
∴△AFD∽△BFP，
∴∠FAD=∠FBP=45°，
∴∠BAD=90°，
∴AD⊥AB；
（2）过点P作MN⊥AD的延长线于N，MN⊥BC于M，交DC于E′，过点C作CK⊥AD的延长线于K，DJ⊥AD，交AC于J，
∵AD=DJ，四边形ABCK是正方形，四边形NMCK是矩形，△APB≌△APK，
∴PK=PB，
∵PB=PD，
∴PK=PD，
∵PN⊥DK，
∴DN=NK，
在△E′DN和△E′MC中，

∠E′ND=∠E′MC ∠DE′N=∠ME′C DN=MC

，
∴△E′DN≌△E′MC，
∴DE′=E′C，
∴E、E′重合，
∵PE∥DJ，ED=EC，
∴JP=PC，
∴PE=

1

2

DJ=

1

2

AD，
∴AD=2PE；

（3）由（2）可知：AD=2PF=2，
∵PC=

2

，
∴MC=1，
∴DN=NK=1，
∴AB=AK=4．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，关键是根据题意做出辅助线，构造相似三角形．