题目内容
已知抛物线C1：y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），求抛物线C1的解析式；
（2）将（1）中的抛物线C1沿y轴向下平移3个单位长度，然后再向右平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线C2，抛物线C2与x轴交于点C、D（点C在点D的左侧），连PD（点P是抛物线C1的顶点）并过点C作CN∥PD交y轴交于点N，若tan∠CNP=2，求抛物线C2的解析式；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PE⊥x轴于点E，将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后所得抛物线C3经过点A、E，设抛物线C3与x轴的另一交点为F，请探究四边形OABF的形状，并说明理由．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），求抛物线C1的解析式；
（2）将（1）中的抛物线C1沿y轴向下平移3个单位长度，然后再向右平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线C2，抛物线C2与x轴交于点C、D（点C在点D的左侧），连PD（点P是抛物线C1的顶点）并过点C作CN∥PD交y轴交于点N，若tan∠CNP=2，求抛物线C2的解析式；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PE⊥x轴于点E，将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后所得抛物线C3经过点A、E，设抛物线C3与x轴的另一交点为F，请探究四边形OABF的形状，并说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）首先求出b的值，然后把b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）先根据平移的性质得到抛物线C2的解析式为y=（x-m）2+2-3=（x-m）2-1，再根据tan∠CNP=2，由三角函数即可求解；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD=
，又知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P（-
，
），即可求出b和c的关系，进而得到A（0，
b2），P（-
b，
b2），D（-
b，0），根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+
b2，再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC=90°即可证明四边形OABC是矩形．
（2）先根据平移的性质得到抛物线C2的解析式为y=（x-m）2+2-3=（x-m）2-1，再根据tan∠CNP=2，由三角函数即可求解；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD=
| c |
| 2 |
| b |
| 2 |
| 4c-b2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）依题意，-
=1，
解得b=-2．
将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32-2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x2-2x+3．
（2）∵将（1）中的抛物线C1沿y轴向下平移3个单位长度，然后再向右平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线C2，
∴y=（x-m）2+2-3=（x-m）2-1，
∵tan∠CNP=2，
∴y=x2-（2+2
）x+5+2
．
（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=
．
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P（-
，
），
∴
=
∴b2=2c．
∴抛物线y=x2+bx+
b2，A（0，
b2），P（-
b，
b2），D（-
b，0）．
可得直线OP的解析式为y=-
bx．
∵点B是抛物线y=x2+bx+
b2与直线y=-
bx的图象的交点，
令-
bx=x2+bx+
b2．
解得x1=-b，x2=-
．
可得点B的坐标为（-b，
b2）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+
b2．
将点D（-
b，0）的坐标代入y=x2+mx+
b2，得m=
b．
则平移后的抛物线解析式为y=x2+
bx+
b2．
令y=0，即x2+
bx+
b2=0．
解得x1=-b，x2=-
b．
依题意，点C的坐标为（-b，0）．
则BC=
b2．
则BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
| b |
| 2×1 |
解得b=-2．
将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32-2×3+c．
解得 c=3．
所以抛物线的解析式为y=x2-2x+3．
（2）∵将（1）中的抛物线C1沿y轴向下平移3个单位长度，然后再向右平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线C2，
∴y=（x-m）2+2-3=（x-m）2-1，
∵tan∠CNP=2，
∴y=x2-（2+2
| 5 |
| 5 |
（3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=| c |
| 2 |
∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P（-
| b |
| 2 |
| 4c-b2 |
| 4 |
∴
| 4c-b2 |
| 4 |
| c |
| 2 |
∴b2=2c．
∴抛物线y=x2+bx+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
可得直线OP的解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
∵点B是抛物线y=x2+bx+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
令-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得x1=-b，x2=-
| b |
| 2 |
可得点B的坐标为（-b，
| 1 |
| 2 |
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+
| 1 |
| 2 |
将点D（-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
则平移后的抛物线解析式为y=x2+
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
令y=0，即x2+
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得x1=-b，x2=-
| 1 |
| 2 |
依题意，点C的坐标为（-b，0）．
则BC=
| 1 |
| 2 |
则BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识，此题涉及抛物线解析式的求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及矩形的判定，特别是第三问设计到平移的知识，同学们作答时需认真，此题难度较大．
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