Question

3．如图，在?ABCD中，对角线BD⊥CD，O为对角线BD上一点，以O为圆心的圆与BC相切于点E，交BD于点F，交AD于点G．
（1）当∠C=60°时，判断直线BG与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当G为AD中点时，若BG=$\sqrt{3}$，BF=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）BG是⊙O的切线．只要证明△BOG≌△BOE，即可推出∠BGO=∠BEO=90°，由此即可解决问题；
（2）设⊙O的半径为r．由△ODG∽△GDB，可得$\frac{OD}{DG}$=$\frac{DG}{BD}$，列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）BG是⊙O的切线．
理由：连接OG、OE．
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥BD，
∴AB∥CD，∠A=∠C=60°，
∴∠ABD=∠CDB=∠OED=90°，
∴∠DOE=120°，∠ADB=30°，
∵OG=OD，
∴∠ODG=∠OGD=30°，
∴∠GOD=∠BOE=60°，
∵OB=OB，OG=OE，
∴△BOG≌△BOE，
∴∠BGO=∠BEO=90°，
∴BG⊥OG，
∴BG是⊙O的切线．

（2）设⊙O的半径为r．
∵∠ABD=90°，AG=GD，
∴GB=GD，
∴∠GBD=∠GDB，
∵OG=OD，
∴∠ODG=∠OGD=∠GBD，
∴△ODG∽△GDB，
∴$\frac{OD}{DG}$=$\frac{DG}{BD}$，
∴$\frac{r}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2r+1}$，
解得r=1或-$\frac{3}{2}$（舍弃），
∴⊙O的半径为1．

点评 本题考查切线的判定和性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．