Question

18．如图，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H，设ED=x．
（1）用含有x的代数式表示DH的长；
（2）当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）可以证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比等于相似比即可用含有x的代数式表示DH的长；
（2）根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于EF的长的函数，根据函数的性质即可求解；

解答 解：（1）∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ．
∴△AEF∽△ABC．
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF．
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{8-DH}{8}=\frac{x}{10}$，
∴DH=8-$\frac{4}{5}$x；
（2）设矩形EFPQ的面积为y，
∴y=EF×DH=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20．
∵a=-$\frac{4}{5}$＜0，
∴当x=5时，y的最大值为20．

点评 本题主要考查了相似三角形的性质与二次函数的应用，熟悉相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．