Question

12．如图，四边形ABCD中，∠ADC=90°，AC=CB，E，F分别是AC，AB的中点，且∠DEA=∠ACB=45°，BG⊥AE于G，
（1）求证：四边形AFGD是菱形；
（2）若AC=BC=10，求菱形AFGD的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明△EDA∽△CAB，并且DE：AC=1：2，所以AD=$\frac{1}{2}$AB=AF，易证△ADG≌△AFG，所以DG=FG，由AF=GF，可知AD=DG=FG=AF，即可证明四边形AFGD是菱形；
（2）由（1）知△ADG≌△AFG，又AF=FB，所以S_△AGB=2S_△AFG=S_菱形AFGD，由BC=10，BG⊥AE，∠ACB=45°，知BG=GC=5$\sqrt{2}$，AG=10-5$\sqrt{2}$，S_△AGB=$\frac{1}{2}$×AG×BG=25$\sqrt{2}$-25．

解答 解：（1）∵∠ADC=90°，E是AC的中点，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=CB，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠DEA=∠ACB=45°，
∴△EDA∽△CAB，AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵BG⊥AE于G，F是AB的中点，
∴AF=FG=$\frac{1}{2}$AB=AD，
在△ADG和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AF}\\{∠DAG=∠FAG}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△AFG，
∴DG=FG，
∴AD=DG=FG=AF，
∴四边形AFGD是菱形；
（2）由（1）知△ADG≌△AFG，又AF=FB，
∴S_△AGB=2S_△AFG=S_菱形AFGD，
∵BG⊥AE，∠ACB=45°，
∴△GBC是等腰直角三角形，
∵BC=10，
∴BG=GC=5$\sqrt{2}$，AG=10-5$\sqrt{2}$，
∴S_△AGB=$\frac{1}{2}$×AG×BG=25$\sqrt{2}$-25，
∴S_菱形AFGD=25$\sqrt{2}$-25．

点评 本题主要考查了菱形的判定、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等积变换等知识，有一定的综合性，证明△EDA∽△CAB是解决问题的关键．