Question

7．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C、D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）若抛物线上有一点M，且S_△ABM=6，求M的坐标；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角线与△BCD相似？若存在，请求出符合条件的点P；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点M的坐标，用S_△ABM=6，建立方程求解即可；
（3）先判断出Rt△AOC∽Rt△DCB，分三种情况，作出辅助线根据三角形相似求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²-2x+3，
∴抛物线顶点坐标为D（-1，4），
（2）设M（m，n），
∴n=-m²-2m+3
∵S_△ABM=6，
∴$\frac{1}{2}$AB×|n|=6，
∴$\frac{1}{2}$×4×|n|=6，
∴n=±3，
①当n=3时，则-m²-2m+3=3，
∴m=0或m=-2，
∴M（0，3）或（-2，3）
②当n=-3时，则-m²-2m+3=-3
∴m=-1+$\sqrt{7}$或m=-1-$\sqrt{7}$，
∴M（-1+$\sqrt{7}$，-3）或（-1-$\sqrt{7}$，-3），
∴满足条件的M点坐标为（0，3）或（-2，3）或（-1+$\sqrt{7}$，-3）或（-1-$\sqrt{7}$，-3），
（3）存在，
如图，

∵A（1，0），B（-3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴OA=1，OC=3，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{3}$
∵B（-3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴BC²=（-3）²+3²=18，BD²=（-1+3）²+4²=20，CD²=（-1）²+（4-3）²=2，
∴BC²+CD²=BD²，BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴△BCD是直角三角形，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{CD}{BC}$，
∵∠AOC=∠BCD=90°，
∴Rt△AOC∽Rt△DCB，
理由：①∵Rt△AOC∽Rt△DCB，
∴点P与点O重合，
∴P（0，0），
②过点A作AP'⊥AC，交y轴于点P'，
∴∠P'AC=∠AOC=90°
∵∠ACO=∠P'CA，
∴Rt△AOC∽Rt△P'AC，
∴Rt△AOC∽Rt△DCB∽Rt△P'AC，
∴OP'×OC=OA²，
∵OA=1，OC=3，
∴OP'=$\frac{1}{3}$，
∴P'（0，-$\frac{1}{3}$），
③过点C作CP''⊥AC，交x负半轴于点P''，
∴∠ACP''=90°，
∴∠ACP''=∠BCD=90°
∵∠OAC=∠CAP''，
∴Rt△AOC∽Rt△ACP''
∴Rt△AOC∽Rt△DCB∽Rt△ACP''，
∴OC2=OA×OP''，
∵OA=1，OC=3，
∴OP''=9，
∴P''（-9，0），
∴存在符号条件的点P它的坐标为（0，0），（0，-$\frac{1}{3}$），（-9，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断出Rt△AOC∽Rt△DCB．