Question

14．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点．
（1）写出点D到△ABC三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△DMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质可知CD=BD=AD；
（2）连接AD，可证明△ADM≌△CDN，则可证得DM=DN，∠CDN=∠ADM，再利用AD⊥BC，可求得ND⊥MD，可判定△DMN为等腰直角三角形．

解答 解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴CD=BD=AD，
即点D到三个顶点的距离相等；
（2）△DMN为等腰直角三角形，
证明如下：
如图，连接AD，
由（1）可知CD=AD，
∵AC=AB，
∴AD⊥BC，且∠DAB=∠CAD=45°，
∴∠C=∠DAM，
∵AN=BM，
∴CN=AM，
在△ADM和△CDN中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠DAM=∠C}\\{AM=CN}\end{array}\right.$
∴△ADM≌△CDN（SAS），
∴DM=DN，且∠ADM=∠CDN，
∴∠ADM+∠ADN=∠ADN+∠NDC=90°，
∴△DMN为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查等腰直角三角形、全等三角形的判定和性质，在（1）中掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键，在（2）中证明△ADM≌△CDN是解题的关键．