Question

9．已知：如图（一）在平面直角坐标系中，C为y轴上一点，A为x轴上一点，AC=6，且∠ACO=30°，B是A点关于y轴的对称点，一直线a过y轴上的E点，过A、B作直线a的垂线．垂足分别为M、N，连结OM、ON．若△OMN是以MN为斜边的等腰直角三角形．
（1）求E点的坐标，并说明理由．
（2）在（1）问的基础上，连结EB，如图（二），P（m，0）为x轴上B点右侧的一点，连结EP，以EP为直角边作等腰直角三角形EPF，连结FB并延长交y轴负半轴于H点．求H点坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据△OMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，以及AM⊥MN，判定△AOM≌△EON（ASA），得出AO=EO，再根据含30度角的直角三角形的性质，求得AO=$\frac{1}{2}$AC=3，进而得出EO=3，即可得到E（0，3）；
（2）先过点F作FG⊥x轴于G，则∠PGF=∠EOP=90°，根据△EFP是等腰直角三角形，判定△OPE≌△GFP（AAS），得出OP=GF，OE=GP，再根据OE=OB=3，得出GF=GB，进而得到△BOH是等腰直角三角形，可得OB=OH=3，据此求得H（0，-3）．

解答 解：（1）如图1，∵△OMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，
∴∠MNO=∠NMO=45°，MO=NO，
∵AM⊥MN，
∴∠AMO=45°，
∴∠AMO=∠ENO，
∵∠MON=∠AOE=90°，
∴∠AOM=∠EON，
在△AOM和△EON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠ENO}\\{MO=NO}\\{∠AOM=∠EON}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△EON（ASA），
∴AO=EO，
∵AC=6，且∠ACO=30°，
∴Rt△AOC中，AO=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴EO=3，
即E（0，3）；

（2）如图2，过点F作FG⊥x轴于G，则∠PGF=∠EOP=90°，
∵△EFP是等腰直角三角形，
∴PE=FP，∠EPF=90°，
∴∠OPE+∠GPF=90°=∠GFP+∠GPF，
∴∠OPE=∠GFP，
在△OPE和△GFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PGF=∠EOP}\\{∠OPE=∠GFP}\\{PE=FP}\end{array}\right.$，
∴△OPE≌△GFP（AAS），
∴OP=GF，OE=GP，
∴OG=OP+GP=GF+OE，
又∵OG=OB+BG，
∴GF+OE=OB+BG，
∵B是A点关于y轴的对称点，AO=3，OE=3，
∴OE=OB=3，
∴GF=GB，
∴∠GBF=45°=∠OBH，
又∵∠BOH=90°，
∴△BOH是等腰直角三角形，
∴OB=OH=3，
∴H（0，-3）．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行求解．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．