Question

6．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，过点O作OC∥BP交切线AP于C，在切线BP上截取BD=CP，连接CD．
（1）求证：四边形OCDB是矩形；
（2）若⊙O的半径R=1，PA=2+$\sqrt{3}$，求PA、PB与⊙O所围成的曲边三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OP，根据切线长定理得到∠APO=∠BPO，根据平行线的性质得到∠COP=∠BO，等量代换得到∠COP=∠CPO，得到OC=PC，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OC=2，根据三角函数的定义得到∠AOB=150°，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OP，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴∠APO=∠BPO，
∵BP∥OC，
∴∠COP=∠BO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=PC，
∵BD=PC，
∴OC=BD，
∴四边形BDCO是平行四边形，
∵∠OBD=90°，
∴四边形OCDB是矩形；

（2）∵∠OAP=90°，OA=1，PA=2+$\sqrt{3}$，
∴AC=AP-CP=AP-OC，
∵AO²+AC²=OC²，
∴1²+（2+$\sqrt{3}$-OC）²=OC²，
∴OC=2，
∴∠ACO=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=150°，
∴PA、PB与⊙O所围成的曲边三角形的面积=S_{四边形AOBP}-S_扇形AOB=1×（2+$\sqrt{3}$）-$\frac{150•π×{1}^{2}}{360}$=2+$\sqrt{3}$-$\frac{5}{12}$π．

点评 本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．