如图1.在直角坐标系xOy中.直线l:y=kx+b交x轴.y轴于点E.F.点B的坐标是(2.2).过点B分别作x轴.y轴的垂线.垂足为A.C.点D是线段CO上的动点.连结BD.将△BCD沿直线BD折叠后得到△BC′D．(1)当图1中的直线l经过点A.且k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时．①b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.点C′的坐标为②求点D由C到O� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图1，在直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+b交x轴、y轴于点E、F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，连结BD，将△BCD沿直线BD折叠后得到△BC′D．

（1）当图1中的直线l经过点A，且k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时（如图2）．
①b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，点C′的坐标为（2-$\sqrt{3}$，1）
②求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．
（2）当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），将△DOE沿直线DE折叠后得到△DO′E，连结O′C，O′O，若△DO′E与△CO′O相似，求k、b的值．

分析（1）①利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，进而得出CH的长，进而得出答案；
②首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C′与A重合，且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，求出即可；
（3）根据题意得出△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，进而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的长进而得出答案．

解答解：（1）①如图2，∵B（2，2），
∴A（2，0），k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴代入直线AF的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则直线AF的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，故∠BAC′=60°，
∴∠CBC'=30°，
∵△CBD≌△C′BD，
∴∠CBD=∠C′BD=$\frac{1}{2}$∠CBC'=15°，C′B=CB=2，
∴∠CBC′=30°，
如图1，作C′H⊥BC于H，则C′H=1，HB=$\sqrt{3}$，
∴CH=2-$\sqrt{3}$，
∴点C′的坐标为：（2-$\sqrt{3}$，1）；
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2-$\sqrt{3}$，1；
②如图2，由（1）知，在点D由C到O的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形，
∴当D与O重合时，点C′与A重合，
且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形
当C′在直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$上时，BC′=BC=AB，∠BAC′=60°，
∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′=60°，
∴重叠部分的面积是：$\frac{60π×4}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$；

（2）如图3，设OO′与DE交于点M，则O′M=OM，OO′⊥DE，
若△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，
在点D由C到O的运动过程中，△COO′中显然只能∠CO′O=90°，
∴CO′∥DE，
∴CD=OD=1，
∴b=1，
连接BE，由轴对称性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，
∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，
在Rt△BAE和Rt△BC′E中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{AB=BC'}\end{array}\right.$，
∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），
∴AE=C′E，
∴DE=DC′+C′E=DC+AE，
设OE=x，则AE=2-x，
∴DE=DC+AE=3-x，
由勾股定理得：x²+1=（3-x）²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∵D（0，1），E（$\frac{4}{3}$，0），
∴$\frac{4}{3}$k+1=0，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴存在点D，使△DO′E与△COO′相似，这时k=-$\frac{3}{4}$，b=1．