Question

14．如图，已知正方形GFED的对角线DF在正方形ABCD的边DA上，连结AG，CE，并延长CE交AG于点H，若AD=4，DG=$\sqrt{2}$，则CE和CH的长分别是$\sqrt{10}$，$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 根据全等三角形的性质得到得出∠DAG=∠DCE，而∠DCM+∠DMC=90°，从而∠DAG+∠AMH=90°，根据DG∥AC，得到△GAC与△DAC的面积相等，于是求出AG即可求出CH．

解答 解：过点E作EP⊥CD于点P，连接AC，
∵∠CDE+∠EDA=∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠ADG=∠CDE，
在△ADG和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{DG=DE}\\{∠ADG=∠CDE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠DAG=∠DCE，
∵∠DCM+∠DMC=90°，
∴∠DAG+∠AMH=90°，
∴AG⊥CH；
∵∠EDF=∠EDC=45°，DG=$\sqrt{2}$，
∴DP=EP=1，
∵CD=AD=4，
∴CP=3，
∴CE=$\sqrt{10}$，
∴AG=$\sqrt{10}$，
∵∠DAC=∠ADG=45°，
∴DG∥AC，
∴S_△AGC=S_△ADC=$\frac{1}{2}$=8，
∵S_△AGC=$\frac{1}{2}$AG•CH，
∴CH=$\frac{16}{\sqrt{10}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\sqrt{10}$，$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和性质、等积变换、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，难度较大．