Question

使得

a+1 - a

+

b+1 - b

+

c+1 - c

=1的一组正整数（a，b，c）为：

 

．

Answer 1

考点：二次根式的性质与化简,二次根式有意义的条件

专题：开放型

分析：由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（

x

-

y

）²（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是

2

-1，则第二个复合二次根式化简后必为

3

-

2

，第三个复合二次根式化简后必为

4

-

3

，最后求的a，b，c的值．

解答：解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设

a+1

-

a

=(

x

-

y

) 2=x+y-2

xy

，（x，y为正整数，x＞y），所以有

a+1

=x+y，-

a

=-2

xy

．
∴a+1=（x+y）²，a=4xy，
∴（x-y）²=1，即x-y=1．
则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．
若第一个化简后为

2

-1，而

2

要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为

3

-

2

，

3

要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为

4

-

3

．最后正好为

4

-

1

=1．
所以

a+1

-

a

=（

2

-1）²=3-2

2

=3-

8

，则a=8，
同理得b=24，c=48．
故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．
故答案为8，24，48．

点评：本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：

a2

=|a|．