Question

3．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接AE、BE，求证：AE=BE．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性质得出DO=CO，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，进而利用全等三角形的判定得出．

解答 证明：
（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD=OD，
∴四边形OCED为菱形；

（2）∵四边形OCED为菱形，
∴ED=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADE=∠BCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质进而得出对应线段关系是解题关键．