Question

8．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）求证：DF²=BF•AF．

Answer 1

分析 （1）连AD，OD，则∠ADB=∠ADC=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得：EA=ED，∠EDA=∠EAD，由等腰三角形的性质得：∠ODA=∠OAD，证得∠EDO=∠EAO，即可得出结论；
（2）证明：由切线的性质得：∠ODF=∠FDB+∠ODB=∠FAD+∠OBD=90°，证出∠FDB=∠FAD，∠F为公共角，得出△FDB∽△FAD，由对应边成比例即可得出结论．

解答 （1）证明：连AD，OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴EA=ED，
∴∠EDA=∠EAD，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠EDO=∠EAO，
∵AB⊥AC，
∴∠EAO=90°，
∴∠EDO=90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODF=∠FDB+∠ODB=∠FAD+∠OBD=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠FDB=∠FAD，
又∵∠F为公共角，
∴△FDB∽△FAD，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{BF}{DF}$，
∴DF²=BF•AF．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．