Question

2．如图，已知点A（1，2）是函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象上的点，连接0A作0A⊥0B，与图象y=$\frac{-6}{x}$（x＞0）交于点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求OA：OB的值．

Answer 1

分析 （1）过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，于是得到△AOC∽△BOD，设B（m，-$\frac{6}{m}$），得到OD=$\frac{6}{m}$，BD=m，根据A（1，2），得到AC=1，OC=2，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{OD}=\frac{OC}{BD}$，
∵设B（m，-$\frac{6}{m}$），
∴OD=$\frac{6}{m}$，BD=m，
∵A（1，2），
∴AC=1，OC=2，
∴$\frac{1}{\frac{6}{m}}=\frac{2}{m}$，
∴m=±2$\sqrt{3}$，
∵m＞0，
∴m=2$\sqrt{3}$，
∴B（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$）；

（2）∵△AOC∽△BOD，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{OD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．