Question

14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、和BC延长线上的点，若AE=BF=CG=2，连接EG、AF交于点H，则AH的长为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 如图，连接DE、DG，延长DA、GE交于点M，先证明四边形AFGD是平行四边形，由AM∥BG得$\frac{AM}{BG}$=$\frac{AE}{EB}$，求出AM，再由AH∥DG得$\frac{AH}{DG}$=$\frac{AM}{MD}$即可解决问题．

解答 解：如图，连接DE、DG，延长DA、GE交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠DCB=∠DCG=90°，AD∥BC，
∵AE=BF=CG，
∴BC=FG=AD，
∴AD∥FG，AD=FG，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∴AF∥DG，
∴$\frac{AH}{DG}$=$\frac{MA}{MD}$，
∵DG=$\sqrt{D{C}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵AM∥BG，
∴$\frac{AM}{BG}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{AM}{8}$=$\frac{2}{4}$，
∴AM=4，MD=10，
∴$\frac{AH}{2\sqrt{10}}$=$\frac{4}{10}$，
∴AH=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查正方形的性质、平行四边形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．