Question

已知直线L经过点（4，0），且与x轴、y轴所围成的直角三角形的面积等于8，如果一个二次函数的图象经过直线L与两坐标轴的交点，以直线x=3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：先根据直线L与x轴、y轴所围成的直角三角形的面积等于8可确定直线L与y轴的交点坐标为（0，-4）或（0，4），再利用对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），然后设交点式y=a（x-2）（x-4），再把（0，-4）和（0，4）分别代入求出对应的a的值，然后得到满足条件的二次函数解析式．

解答：解：设直线L与y轴的交点坐标为（0，t），
∵

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×4×|t|=8，即得t=4或-4，
∴直线L与y轴的交点坐标为（0，-4）或（0，4），
∵直线x=3为抛物线的对称轴，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x-2）（x-4），
把（0，-4）代入得-4=8a，解得a=-

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，
∴抛物线解析式为y=-

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（x-2）（x-4）=-

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x²+3x-4；
把（0，4）代入得4=8a，解得a=

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，此时抛物线开口向上，不合题意舍去，
∴这个二次函数的解析式为y=-

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x²+3x-4．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．