题目内容
16．先阅读下列材料，再解答后面的问题．求1+2+22+23+24+…+2100的和．
解：设S=1+2+22+23+24+…+2100．①
将①式两边同时乘以2，得：
2S=2+22+23+24+25+…+2101． ②
②-①，得
2S-S=2101-1．
即 S=2101-1
所以1+2+22+23+24+…+2100=2101-1
问题解答：
（1）猜想1+2+22+23+…+22016的和，并写出计算过程；
（2）求1+32+34+36+38+…+32n的和（其中n为正整数）；
（3）记Sn=1+32+34+36+38+…+32n（其中n为正整数），试说明：$\sqrt{\frac{8{S}_{2n}+1}{9}}$=$\frac{8{S}_{n}+1}{9}$．
分析 （1）根据题意可以求得题目中所求式子的值；
（2）根据题目中的信息，对所求式子变形即可解答本题；
（3）根据（2）中的结果分别化简所要证明的式子即可解答本题．
解答 解：（1）1+2+22+23+24+…+22016=22017-1．
设S=1+2+22+23+24+…+22016①
将①式两边同时乘以2，得：
2S=2+22+23+24+25+…+22017②
②-①，得2S-S=22017-1．即 S=22017-1，
所以1+2+22+23+24+…+22016=22017-1；
（2）设S=1+32+34+36+38+…+32n①
将①式两边同时乘以32，得：9S=32+34+36+38+…+32n+2②
②-①，得9S-S=32n+2-1．即S=$\frac{{3}^{2n+2}-1}{8}$；
（3）由（2）可得，Sn=$\frac{{3}^{2n+2}-1}{8}$，S2n=$\frac{{3}^{4n+2}-1}{8}$，
∴$\sqrt{\frac{8{S}_{2n}+1}{9}}=\sqrt{\frac{8×\frac{{3}^{4n+2}-1}{8}+1}{9}}$=$\sqrt{\frac{{3}^{4n+2}}{9}}$=$\frac{{3}^{2n+1}}{3}$，
$\frac{8{S}_{n}+1}{9}=\frac{8×\frac{{3}^{2n+2}-1}{8}+1}{9}=\frac{{3}^{2n+2}}{9}$=$\frac{{3}^{2n+1}}{3}$，
∴$\sqrt{\frac{8{S}_{2n}+1}{9}}$=$\frac{8{S}_{n}+1}{9}$．
点评 本题考查实数的运算，解题的关键是明确题意，找出数字的变化特点，明确实数运算的方法．
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某班同学响应“阳光体育运动”号召，利用课外活动积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定时定点投篮中任选一项进行了训练，训练后都进行了测训练后篮球定点投篮测试进行球赛进球统计表| 进球数（个） | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
| 人数 | 2 | 1 | 4 | 7 | 8 | 2 |
（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为多少个？
（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是10%，该班共有同学40人；
（3）根据测试资料，参加蓝球定时定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了25%，求参加训练之前的人均进球数．
如图，已知：AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC且AE=CF，求证：AB∥CD．
如图，AB∥CD，EF分别交AB，CD于M，N，∠END=50°，∠BMF的角平分线MG交CD于点G，求∠1的度数．| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
| A． | $\root{3}{9}$ | B． | ±$\root{3}{3}$ | C． | 3 | D． | ±$\root{3}{9}$ |