Question

8．如图所示，已知在△ABC中，作平行于BC的直线交AB于D，交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，AO的延长线和BC交于G，证明：
（1）$\frac{DF}{BG}$=$\frac{EF}{GC}$；
（2）BG=GC．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，得到△ADF∽△ABG，△AEF∽△ACG，根据相似三角形的性质得到$\frac{DF}{BG}=\frac{AF}{AG}$，$\frac{EF}{CG}=\frac{AF}{AG}$，等量代换即可得到结论；
（2）由DE∥BC，得到△DFO∽△OCG，△EFO∽△BGO，根据相似三角形的性质得到$\frac{DF}{CG}=\frac{OF}{OG}$，$\frac{EF}{BG}=\frac{OF}{OG}$，等量代换得到$\frac{DF}{CG}=\frac{EF}{BG}$，由（1）证得$\frac{DF}{BG}$=$\frac{EF}{GC}$，两式相除即可得到结论．

解答 证明：（1）∵DE∥BC，
∴△ADF∽△ABG，△AEF∽△ACG，
∴$\frac{DF}{BG}=\frac{AF}{AG}$，$\frac{EF}{CG}=\frac{AF}{AG}$，
∴$\frac{DF}{BG}$=$\frac{EF}{GC}$；

（2）∵DE∥BC，
∴△DFO∽△OCG，△EFO∽△BGO，
∴$\frac{DF}{CG}=\frac{OF}{OG}$，$\frac{EF}{BG}=\frac{OF}{OG}$，
∴$\frac{DF}{CG}=\frac{EF}{BG}$，
由（1）证得$\frac{DF}{BG}$=$\frac{EF}{GC}$，
∴$\frac{\frac{DF}{CG}}{\frac{DF}{BG}}=\frac{\frac{EF}{BG}}{\frac{EF}{CG}}$，即$\frac{BG}{CG}=\frac{CG}{BG}$，
∴BG²=CG²，
∴BG=CG．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．