Question

3．已知到直线l的距离等于a的所有点的集合是与直线l平行且距离为a的两条直线l₁、l₂（如图①）．
（1）在图②的平面直角坐标系中，画出到直线y=x+2$\sqrt{2}$的距离为1的所有点的集合的图形．并写出该图形与y轴交点的坐标．
（2）试探讨在以坐标原点O为圆心，r为半径的圆上，到直线y=x+2$\sqrt{2}$的距离为1的点的个数与r的关系．
（3）如图③，若以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上只有两个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围为-3$\sqrt{2}$＜b＜-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$＜b＜3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）易证△AOB是等腰直角三角形，两直线之间的距离是1，则过B作l1的垂线，垂线段长是1，利用勾股定理求得BD的长，即可求得D的坐标，同理求得E的坐标；
（2）求出O到直线的距离，据此即可作出判断；
（3）首选求得到原点距离是1和3时直线对应的b的值，则b的范围即可求得．

解答 解：（1）如图，y=x+2$\sqrt{2}$中令x=0时y=2$\sqrt{2}$，则B的坐标是（0，2$\sqrt{2}$），
令y=0，0=x+2$\sqrt{2}$，解得：x=-2$\sqrt{2}$，则A的坐标是（-2$\sqrt{2}$，0）．
则OA=OB=2$\sqrt{2}$，即△ABC是等腰直角三角形，
过B作BC⊥l₁于点C，则BC=1．
则△BCD是等腰直角三角形，BC=CD=1，
则BD=$\sqrt{2}$，即D的坐标是（0，3$\sqrt{2}$），
同理，E的坐标是（0，$\sqrt{2}$）．
则与y轴交点的坐标为（0，$\sqrt{2}$）和（0，3$\sqrt{2}$）；
（2）在等腰直角△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2．
过O作OF⊥AB于点F．
则OF=$\frac{1}{2}$AB=1．
当0＜r＜1时，0个；  
当r=1时，1个；  
当1＜r＜3时，2个；
当 r=3时，3个；  
当3＜r时，4个．
（3）OM是第二、四象限的角平分线，
当OM=2-1=1时，则l3与y轴的交点G，G的坐标是（0，$\sqrt{2}$），即b=$\sqrt{2}$，
同理当ON=3时，b=3$\sqrt{2}$，
当直线在原点O下方时，b=-$\sqrt{2}$和b=-3$\sqrt{2}$．
则当-3$\sqrt{2}$＜b＜-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$＜b＜3$\sqrt{2}$时，2为半径的圆上只有两个点到直线y=x+b的距离为1．
故答案是：-3$\sqrt{2}$＜b＜-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$＜b＜3$\sqrt{2}$．

点评 本题是圆与一次函数的综合题，考查了直线和圆的位置关系，正确理解直线y=x+2$\sqrt{2}$与x、y轴的交点以及原点构成等腰直角三角形是关键．