Question

13．已知：在平行四边形ABCD中，AD：DC=2：3，O是对角线AC上的一点，连接DO并延长，与AB交于点M，与CB的延长线交于点N．若AD=4，NC=10，∠ABC=60°，则OM的长为$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC=4，AB=CD=6，通过△BNM∽△CND，得到$\frac{BM}{CD}=\frac{BN}{CN}$，求出BM=$\frac{18}{5}$，AM=$\frac{12}{5}$，根据平行线分线段成比例得到OM=$\frac{2}{7}$DM=$\frac{4}{35}$DN，过D作DH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：∵AD：DC=2：3，AD=4，
∴CD=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，AB=CD=6，
∵CN=10，
∴BN=6，
∵AB∥CD，
∴△BNM∽△CND，
∴$\frac{BM}{CD}=\frac{BN}{CN}$，
∴BM=$\frac{18}{5}$，AM=$\frac{12}{5}$，
∵BM∥CD，
∴NM：MD=BN：BC=6：4=3：2，
∴DM：DN=2：5，
∴OM：OD=AM：CD=$\frac{12}{5}$：6=2：5，
∴OM=$\frac{2}{7}$DM=$\frac{4}{35}$DN，
过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，
∵∠ABC=60°，
∴∠DCH=60°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=3，DH=3$\sqrt{3}$，
∴DN=$\sqrt{D{H}^{2}+H{N}^{2}}$=14，
∴OM=14×$\frac{4}{35}$=$\frac{8}{5}$．
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．