Question

3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=$\frac{α}{2}$，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为150度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为PA²+PC²=PB²；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为4PA²•sin²$\frac{α}{2}$+PC²=PB²．

Answer 1

分析 （1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC=90°，根据勾股定理解答即可；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′=$\sqrt{3}$PA，根据勾股定理解答即可；
（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．

解答 解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP=AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=60°，P′C=PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′=60°，
∵∠PAC+∠PCA=$\frac{60°}{2}$=30°，
∴∠APC=150°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∴PA²+PC²=PB²，
故答案为：150，PA²+PC²=PB²；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=120°，P′C=PB，
∴∠APP′=30°，
∵∵∠PAC+∠PCA=$\frac{120°}{2}$=60°，
∴∠APC=120°，
∴∠P′PC=90°，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∵∠APP′=30°，
∴PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PA，
∴PP′=$\sqrt{3}$PA，
∴3PA²+PC²=PB²；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′=α，P′C=PB，
∴∠APP′=90°-$\frac{α}{2}$，
∵∵∠PAC+∠PCA=$\frac{α}{2}$，
∴∠APC=180°-$\frac{α}{2}$，
∴∠P′PC=（180°-$\frac{α}{2}$）-（90°-$\frac{α}{2}$）=90°，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∵∠APP′=90°-$\frac{α}{2}$，
∴PD=PA•cos（90°-$\frac{α}{2}$）=PA•sin$\frac{α}{2}$，
∴PP′=2PA•sin$\frac{α}{2}$，
∴4PA²sin²$\frac{α}{2}$+PC²=PB²，
故答案为：4PA²sin²$\frac{α}{2}$+PC²=PB²．

点评 本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵活运用类比思想是解题的关键．