Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB边上一点，⊙O交AB于E，F两点，BC切⊙O于点D，且CD=$\frac{1}{2}$EF=1．
（1）求证：⊙O与AC相切；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，过点O作OH⊥AC于点H，先根据题意得出四边形OHCD是矩形，进而可得出结论；
（2）直接根据S_阴影=S_{正方形ODCH}-S_扇形ODH即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OD，过点O作OH⊥AC于点H，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC．
∵∠C=90°，
∴∠OHC=∠ODC=∠C=90°，
∴四边形OHCD是矩形．
∵CD=$\frac{1}{2}$EF，
∴OH=$\frac{1}{2}$EF=OE．
∵OH⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵OD=$\frac{1}{2}$EF=1，CD=1，∠DOH=90°，
∴S_阴影=1×1-$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$=1-$\frac{1}{4}$π．

点评 本题考查的是切线的判定与性质，熟知切线的判定定理是解答此题的关键．