Question

5．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的横坐标为3，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把点C，D坐标确定，再用待定系数法求出b，c；
（2）设出点P的坐标，确定出PF∥CO，由PF=CO，求出m即可；
（3）先判断出△PMF∽△CNF，得出PM=CM=2CF，由FP的长从两个角度计算建立方程即可．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}$+2经过点C，D
∴C（0，2），D（3，$\frac{7}{2}$），
∵抛物y=-x²+bx+c经过点C（0，2），D（3，$\frac{7}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{\frac{7}{2}=-{3}^{2}+3b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式y=-x²+$\frac{7}{2}$x+2，
（2）∵点P的横坐标为m，且在抛物线上
∴P（m，-m²+$\frac{7}{2}$m+2），F（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∵PF∥CO，∴当PF=CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形
①当0＜m＜3时，PF=-m²+$\frac{7}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=-m²+3m，
∴m₁=1，m₂=2，
即当m=1或2时，四边形OCPF是平行四边形，
②当m≥3时，PF=（$\frac{1}{2}$m+2）-（-m²+$\frac{7}{2}$m+2）=m^2_-3m，
∴m₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
即当m=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$时，四边形OCFP是平行四边形，
当m=1或2或$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$时，四边形O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
（3）如图，

当点P在CD上方且∠PCF=45°时，作PM⊥CD，CN⊥PF，
∴△PMF∽△CNF，
∴$\frac{PM}{MF}=\frac{CN}{FN}=\frac{m}{\frac{1}{2}m}=2$，
∴PM=CM=2CF，
∴PF=$\sqrt{5}$FM=$\sqrt{5}$CF=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$CN=$\frac{5}{2}$CN=$\frac{5}{2}$m，
∵PF=-m²+3m，
∴-m²+3m=$\frac{5}{2}$m，
∴m₁=$\frac{1}{2}$，m₂=0（舍去）
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）．
同理可得：另外一点P（$\frac{23}{6}$，$\frac{13}{18}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键．