Question

10．如图，已知：四边形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，DE，CD=CE=BE，DE∥BC．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若BC=6，CE=5，求四边形ADCE的面积．

Answer 1

分析 （1）由△BCE≌△DEC，推出∠BED=∠DCE，推出CD∥BE，由E为AB中点，推出BE=AE，推出CD=AE，推出四边形ADCE是平行四边形，由CD=CE，即可推出四边形ADCE是菱形．
（2）由四边形ADCE是菱形，推出AC⊥DE，由DE∥BC，推出AC⊥BC，推出∠ACB=90°，由E为AB中点，推出CE=$\frac{1}{2}$AB=5，推出AB=10，在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，根据四边形ADCE的面积=$\frac{1}{2}$•AC•DE即可解决问题．

解答 （1）证明：∵DE∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CD=CE=BE，
∴∠BCE=∠B，∠DEC=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
在△BCE和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠DEC}\\{∠B=∠CDE}\\{EC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DEC，
∴∠BED=∠DCE，
∴CD∥BE，
∵E为AB中点，
∴BE=AE，
∴CD=AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵CD=CE，
∴四边形ADCE是菱形，

（2）解：连接AC交DE于点O．
∵△BCE≌△DEC，
∴DE=BC=6，
∵四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
∵DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵E为AB中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AB=10，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∴四边形ADCE的面积=$\frac{1}{2}$•AC•DE=$\frac{1}{2}$×8×6=24．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．