Question

18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BC=2$\sqrt{2}$，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明DF是⊙O的切线只要证明DF⊥OD，只要证明OD∥AC即可．
（2）连接AD，首先利用勾股定理求出AD，由△ADC∽△DFC可得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AC}{DC}$，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线

（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，又∵AB=AC
∴BD=DC=$\sqrt{2}$
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=，
∵DF⊥AC，
∴△ADC∽△DFC
∴$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AC}{DC}$，
∴$\frac{\sqrt{14}}{DF}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$，
∴DF=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

点评 本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．