Question

14．某商家销售一种成本为每件50元的商品．据市场调查分析，如果按每件60元销售，一周能售出400件；若销售单价每涨1元，每周销售量就减少8件．设销售单价为x元（x≥60），一周的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设一周的销售利润为W元，求W关于x的函数表达式，并求出商家销售该商品的最大利润；
（3）若该商家每周投入此商品的成本不超过10000元，问销售单价定位多少时，销售该商品一周的利润能达到6400元．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得销量=400-8（销售单价-60），进而得出函数关系式；
（2）用配方法化简解析式，可得y=-8（x-80）²+7200，当60≤x＜80时，利润随着单价的增大而增大进而得出答案．
（3）令y=6400，求出x的实际取值，结合此商品的成本不超过10000元得出答案．

解答 解：（1）由题意得：
y=400-8（x-60）=880-8x（60≤x≤110）；

（2）根据题意可得：W=（x-50）（880-8x）
=-8x²+1280x-44000
=-8（x-80）²+7200
当60≤x＜80时，利润随着单价的增大而增大，即最大利润为7200元；

（3）由题意得：-8（x-80）²+7200=6400
解得：x₁=70，x₂=90，
当x=70时，成本=50×（880-8x）=16000＞10000不符合要求，舍去．
当x=90时，成本=50×（880-8x）=8000＜10000符合要求．
答：销售单价应定为90元，才能使得一周销售利润达到6400元的同时，投入不超过10000元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．