Question

4．如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，F为AB上的点，且DE=AF，EF=EC，连结FC．
求证：（1）∠AFE=∠DEC；
（2）△CEF为直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由HL证明Rt△AFE≌Rt△DEC，即可得出∠AFE=∠DEC；
（2）由（1）知∠AFE=∠DEC，由∠AFE+∠AEF=90°，得出∠DEC+∠AEF=90°，求出∠CEF=90°即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
在Rt△AFE和Rt△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=EC}\\{AF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFE≌Rt△DEC（HL），
∴∠AFE=∠DEC；
（2）由（1）知∠AFE=∠DEC，
∵∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠DEC+∠AEF=90°，
∴∠CEF=180°-（∠DEC+∠AEF）=90°，
∴△CEF为直角三角形．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质与判定；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．