如图.菱形ABCD的边BC在x轴上.点A.D在第一象限.线段AB交y轴于E.且E为AB的中点.点M为AC和BD的交点.连接CE.有CE⊥AB.点A的坐标为,(1)求直线CE的解析式,(2)点P从原点出发.沿x轴正方向以每秒1个单位运动.运动时间为t.过点P作PQ⊥BC交射线EC于点Q.△BCQ面积为S.求S与t之间的关系式并直接写出t的取值范围,(3)BD上是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A，D在第一象限，线段AB交y轴于E，且E为AB的中点，点M为AC和BD的交点，连接CE，有CE⊥AB，点A的坐标为（1，2$\sqrt{3}$）；
（1）求直线CE的解析式；
（2）点P从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位运动，运动时间为t，过点P作PQ⊥BC交射线EC于点Q，△BCQ面积为S，求S与t之间的关系式并直接写出t的取值范围；
（3）BD上是否存在点F，使△CEF为直角三角形？若存在，请直接写出线段MF的长；若不存在，请说明理由．

分析（1）先求出C、E两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图2中，分两种情形①当0＜t≤3时，PC=3-t，PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3-t），②当t＞3时，PC=t-3，根据S=$\frac{1}{2}$•BC•PQ=即可解决问题．
（3）存在．如图3中，由题意直线BD的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，设F（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{4}$m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$），当点F是Rt△CEF的直角顶点时，CE²=CF²+EF²，列出方程即可解决问题，当F与D重合时，△ECF是直角三角形，此时MF₁=2$\sqrt{3}$，当F与B重合时，△ECF是直角三角形，此时MF₂=2$\sqrt{3}$，

解答解：（1）如图1中，作AK⊥BC于K．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵CE⊥AB，EA=EB，
∴CA=CB=AB，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∵A（1，2$\sqrt{3}$），
∴AK=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AKC中，∵∠AKC=90°，∠CAK=30°，
∴KC=2，AC=AB=BC=4，
∴BO=OK=1，OE=$\frac{1}{2}$AK=$\sqrt{3}$，
∴E（0，$\sqrt{3}$），C（3，0），
设直线CE的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CE的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

（2）如图2中，

①当0＜t≤3时，PC=3-t，PQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3-t），
∴S=$\frac{1}{2}$•BC•PQ=$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（3-t）=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+2$\sqrt{3}$．
②当t＞3时，PC=t-3，
∴S=$\frac{1}{2}$•BC•PQ=$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{3}$（t-3）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t-2$\sqrt{3}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2\sqrt{3}}{3}t+2\sqrt{3}}&{（0＜t≤3）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}t-2\sqrt{3}}&{（t＞3）}\end{array}\right.$．

（3）存在．理由如下，如图3中，

由题意直线BD的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，设F（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{4}$m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
当点F是Rt△CEF的直角顶点时，CE²=CF²+EF²，
∴3²+（$\sqrt{3}$）²=m²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{3}$）²+（m-3）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
整理得2m²-5m-1=0，解得m=$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$或$\frac{5+\sqrt{33}}{4}$，
∴F₃（$\frac{5+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{11}}{4}$），F₄（$\frac{5-\sqrt{33}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{11}}{4}$），
∵M（2，$\sqrt{3}$），
∴F₃M=$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{3}}{2}$，F₄M=$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{2}$，
当F与D重合时，△ECF是直角三角形，此时MF₁=2$\sqrt{3}$，
当F与B重合时，△ECF是直角三角形，此时MF₂=2$\sqrt{3}$，
综上所述，当△CEF为直角三角形时，MF的长为2$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{2}$．