Question

20．如图，△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点D是BC上的动点，E、F分别在AB、AC上，∠EDF=90°，若以D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BD=$\frac{9}{5}$或$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 分△EDF∽△BAC、△EDF∽△CAB两种情况，根据相似三角形的性质和正切的定义计算即可．

解答 解：作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，
当△EDF∽△BAC时，$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
设EG=3a，DG=3b，
∵EG⊥BC，FH⊥BC，∠EDF=90°，
∴△EDG∽△DFH，
∴$\frac{EG}{DH}$=$\frac{DG}{FH}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{3}{4}$，
∴DH=4a，FH=4b，
∵tanB=$\frac{4}{3}$，tanC=$\frac{3}{4}$，
∴BG=$\frac{9a}{4}$，CH=$\frac{16b}{3}$，
则$\frac{9a}{4}$+3b+4a+$\frac{16b}{3}$=BC=5，
整理得，3a+4b=$\frac{12}{5}$，
∴BD=$\frac{9a}{4}$+3b=$\frac{3}{4}$（3a+4b）=$\frac{9}{5}$，
当△EDF∽△CAB时，$\frac{DE}{DF}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
同理可得，BD=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{5}$或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．