Question

14．如图，在矩形ABCD中，AB=6，以点B为直角顶点作等腰直角三角形BEF，连接AE、AF，当AE⊥AF且AE：AF=1：2时，则AE的长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意可得AE与AF的关系，然后延长AF交BC的延长线于点G，然后证明△AEB和△GFB全等，再根据勾股定理可以求得AE的长，本题得以解决．

解答 解：∵∠EAF=90°，∠EBF=90°，
∴∠AEB+∠AFB=180°，
延长AF交BC于点G，
∵∠AFB+∠GFB=180°，
∴∠AEB=∠GFB，
∵∠EBA+∠ABF=∠ABF+∠FBG=90°，
∴∠EBA=∠FBG，
又∵EB=FB，
∴△AEB≌△GFB（ASA），
∴AB=BG，FG=AE，
∵AE：AF=1：2，AB=6，
设AE=x，则AF=2x，FG=x，BG=AB=6，
∴$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}=2x+x$，
解得，x=2$\sqrt{2}$，
即AE=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．