Question

20．如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．
（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；
（2）在（1）的条件下，求$\frac{DE}{BE}$的值；
（3）类比探究：若AB=3AD，AD=2AP，$\frac{DE}{BE}$的值为$\frac{1}{18}$．（直接填答案）

Answer 1

分析 （1）根据BP⊥AG，AB=AD，四边形ABCD是矩形，运用AAS判定△ABP≌△DAG，即可得出AG=BP；
（2）根据△ABP≌△DAG，得出AP=DG，再根据AP=$\frac{1}{2}$AD，即可得到DG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，再根据AB∥CD，判定△DGE∽△BAE，最后根据相似三角形的性质，得出$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DG}{BA}$=$\frac{1}{2}$；
（3）设AP=a，则AD=2AP=2a，AB=3AD=6a，根据△ABP∽△DAG，即可求得$\frac{AP}{GD}$=$\frac{AB}{DA}$，得出DG=$\frac{1}{3}$a，再根据△DGE∽△BAE，运用相似三角形的性质，得出$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DG}{BA}$=$\frac{\frac{1}{3}a}{6a}$=$\frac{1}{18}$即可．

解答 解：（1）如图，∵BP⊥AG，∠BAD=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ABF=∠DAG，
在△ABP和△DAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠ADG=90°}\\{∠ABF=∠DAG}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DAG（AAS），
∴AG=BP；

（2）∵△ABP≌△DAG，
∴AP=DG，
∵AP=$\frac{1}{2}$AD，
∴DG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB∥CD，
∴△DGE∽△BAE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DG}{BA}$=$\frac{1}{2}$；

（3）设AP=a，则AD=2AP=2a，AB=3AD=6a，
∵BP⊥AG，∠BAD=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ABF=∠DAG，
又∵∠BAP=∠ADG，
∴△ABP∽△DAG，
∴$\frac{AP}{GD}$=$\frac{AB}{DA}$，即$\frac{a}{DG}$=$\frac{6a}{2a}$=3，
∴DG=$\frac{1}{3}$a，
∵AB∥GD，
∴△DGE∽△BAE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DG}{BA}$=$\frac{\frac{1}{3}a}{6a}$=$\frac{1}{18}$．
故答案为：$\frac{1}{18}$．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的殴打与性质的综合应用，解决问题的关键是根据相似三角形的对应边相等，以及相似三角形的对应边成比例进行推导计算．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．