Question

19．如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连结BP并延长与AD的延长线交于点Q．
（1）求证：△AQB∽△CBP；
（2）当AB=2PC时，求证：点D为AQ的中点．

Answer 1

分析 （1）由AQ∥BC，PD∥AB，从而可得到△DQP∽△CBP，△DQP∽△QAB，从而可证明△AQB∽△CBP；
（2）由△DQP∽△QAB可知：$\frac{DP}{AB}=\frac{QD}{QA}$，然后根据AB=2PC可知$\frac{PD}{AB}=\frac{1}{2}$，从而可证得点D为AQ的中点．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AQ∥BC
∴△DQP∽△CBP
∵PD∥AB，
∴△DQP∽△QAB．
∴△AQB∽△CBP．
（2）∵AB=2PC，
∴DP=CP=$\frac{1}{2}$CD．
∴$\frac{PD}{AB}=\frac{1}{2}$．
∵△DQP∽△QAB，
∴$\frac{QD}{AQ}=\frac{PD}{AB}=\frac{1}{2}$．
∴点D为AQ的中点．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质，证得△DQP∽△CBP、△DQP∽△QAB是解题的关键．