Question

6．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2$\sqrt{5}$，AD=2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是DM，MN的中点，则EF长度的最大值为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据三角形中位线定理可知EF=$\frac{1}{2}$DN，求出DN的最大值即可

解答 解：如图，连结DN，
∵DE=EM，FN=FM，
∴EF=$\frac{1}{2}$DN，
当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，
在Rt△ABD中，
∵∠A=90°，AD=2，AB=2$\sqrt{5}$，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴EF的最大值=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．