Question

16．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y₁=$\frac{4}{x}$（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y₂=$\frac{{k}^{2}}{x}$ （x＞0，k＜0）的y₂图象于点B，BC⊥x轴，若S_△ABC=$\frac{15}{2}$，求函数y₂．

Answer 1

分析 设A（m，$\frac{4}{m}$）（m＜0），则可得到直线AB的解析式为y=$\frac{4}{{m}^{2}}$x．再利用反比例函数与一次函数的交点问题可表示出B（-$\frac{1}{2}$mk，-$\frac{2k}{m}$），则利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2k}{m}$）×（-$\frac{1}{2}$mk+|m|）=$\frac{15}{2}$，解得k₁=-5（舍去），k₂=3，于是得到y₂=$\frac{9}{x}$．

解答 解：设A（m，$\frac{4}{m}$）（m＜0），
直线AB的解析式为y=ax（k≠0），
∵A（m，$\frac{4}{m}$），
∴ma=$\frac{4}{m}$，解得a=$\frac{4}{{m}^{2}}$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{4}{{m}^{2}}$x．
∵AO的延长线交函数y=$\frac{{k}^{2}}{x}$的图象于点B，
∴B（-$\frac{1}{2}$mk，-$\frac{2k}{m}$），
∵△ABC的面积等于$\frac{15}{2}$，CB⊥x轴，
∴$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2k}{m}$）×（-$\frac{1}{2}$mk+|m|）=$\frac{15}{2}$，解得k₁=-5（舍去），k₂=3，
∴y₂=$\frac{9}{x}$．

点评 本题考查了比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．