Question

8．智能手机如果安装了一款测量软件后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，再对准头部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．

（1）若手机显示AC=1m，AD=1.8m，∠CAD=60°，求此时CD的高．（结果保留根号）
（2）对于一般情况，设AC=a，AD=b，∠CAD=α，试直接写出手机设定的测量高度的公式：CD=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosα}$．
（提示：用含a、b、α 的式子来表示CD；sin²α+cos²α=1）

Answer 1

分析 （1）作CH⊥AD于点H．在Rt△ACH中，根据三角函数可求AH=$\frac{1}{2}$，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．从而得到HD=1.3．再根据勾股定理得到CD的高；
（2）同（1）可得，AH=acosα，CH=asinα．从而得到HD=b-acosα．再根据勾股定理得到CD的高．

解答 解：（1）作CH⊥AD于点H．

在Rt△ACH中，∵AC=1，∠CAH=60°，
∴AH=$\frac{1}{2}$，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵AD=1.8，
∴HD=1.3．
∴CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{2.44}$=$\frac{\sqrt{61}}{5}$（m）；

（2）同上可得，AH=acosα，CH=asinα．
∵AD=b，
∴HD=b-acosα．
∴CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosα}$，
故答案为：$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosα}$．

点评 本题主要考查了解直角三角形的应用，本题关键是熟悉三角函数、勾股定理的知识．