题目内容
4．
在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E、F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为S矩形ABCD和S菱形BEDF，若SABCD和SBFDE，给出如下结论：①若$\frac{{S}_{ABCD}}{{S}_{BFDE}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，则tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD，则（ ）
| A． | ①是假命题，②是假命题 | B． | ①是真命题，②是真命题 | ||
| C． | ①是假命题，②是真命题 | D． | ①是真命题，②是假命题 |
分析 ①由已知先求出cos∠BFC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再求出tan∠EDF，即可判断；
②由S△DEF=$\frac{1}{2}$DF•AD=$\frac{1}{4}$BD•EF，及DE2=BD•EF，可得DF•AD=$\frac{1}{2}$DF2，即DF=2AD．
解答 解：①设CF=x，DF=y，BC=h．
∵四边形BFDE是菱形，
∴BF=DF=y，DE∥BF．
∵$\frac{{S}_{ABCD}}{{S}_{BFDE}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{（x+y）h}{yh}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即cos∠BFC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BFC=30°，
∵DE∥BF，
∴∠EDF=∠BFC=30°，
∴tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以①是真命题．
②∵四边形BFDE是菱形，
∴DF=DE．
∵S△DEF=$\frac{1}{2}$DF•AD=$\frac{1}{4}$BD•EF，
又∵DE2=BD•EF（已知），
∴S△DEF=$\frac{1}{4}$DE2=$\frac{1}{4}$DF2，
∴DF•AD=$\frac{1}{2}$DF2，
∴DF=2AD，
所以②是真命题．
故选：B．
点评 此题考查了矩形的性质及菱形的性质，解题的关键是①先求出∠EDF的余弦函数值确定其度数，再求出其正切．②用面积法确定．
练习册系列答案
相关题目
15．下列几何体中，左视图与主视图相同的是（ ）
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
12．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是（ ）
| A． | 4：3 | B． | 3：4 | C． | 16：9 | D． | 9：16 |
如图，在△ABC中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3．现将△ABC绕A点逆时旋转50°得到△AB1C1，则图中的阴影部分的面积为$\frac{5}{4}$π．
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c-4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根，其中正确的结论是③④．（只填序号即可）．
13．费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过四十岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐1982年获费尔兹奖，下面的数据是截至2014年56名费尔兹奖得主获奖时的年龄：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38 36
31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36 33 29
32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40
36 36 37 40 31 38 38 40 40 37 35 40 39 37
根据以上信息将下面的频数分布表补充完整：
29 39 35 33 39 28 33 35 31 31 37 32 38 36
31 39 32 38 37 34 29 34 38 32 35 36 33 29
32 35 36 37 39 38 40 38 37 39 38 34 33 40
36 36 37 40 31 38 38 40 40 37 35 40 39 37
根据以上信息将下面的频数分布表补充完整：
| 分组 | 划记 | 频数 |
| 25≤x＜30 |  | 4 |
| 30≤x＜35 | 正正正 | 15 |
| 35≤x＜40 | 正正正正正正一 | 31 |
| 40≤x＜45 | 正一 | 6 |