Question

11．l₁、l₂、l₃是同一平面内的三条平行直线，l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l₁、l₂、l₃上，则△ABC的边长是$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 过A，C作AE，CF垂直于L₂，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L₂于点G，首先可求出BD的长，在Rt△ABD中，再根据勾股定理即可求出AB的长．

解答 解：如图所示，过A，C作AE，CF垂直于L₂，点E，F是垂足，
将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L₂于点G，
由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．
在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．
∴BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{B{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，此题比较复杂，结合了平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，是一道具有一定综合性的好题．