Question

【题目】如图，在等腰三角形PAD中，PA＝PD，以AB为直径的⊙O经过点P，点C是⊙O上一点，连接AC，PC，PC交AB于点E，已知∠ACP＝60°．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）连接OP，PB，BC，OC，若⊙O的直径是4，则：

①当DE＝　 　，四边形APBC是矩形；

②当DE＝　 　，四边形OPBC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①2；②3．

【解析】

（1）连OP，根据圆周角定理得到∠AOP＝2∠ACP＝120°，则∠PAO＝∠APO＝30°，利用PA＝PD得到∠D＝∠PAD＝30°，则∠APD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，于是得到∠OPD＝120°﹣30°＝90°，根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线；

（2）①由四边形APBC是矩形知∠PAC＝∠PBC＝90°，从而得PC是⊙O的直径，据此知点O与点E重合，再证△APB≌△DPE，从而得AB＝DE＝2；

②由四边形OPBC是菱形知PC、OB互相垂直平分，据此得OE＝BE＝2，AE＝3，再由PA＝PD即可知DE＝AE＝3．

解：（1）如图1，连接OP，

∵∠ACP＝60°，

∴∠AOP＝120°，

而OA＝OP，

∴∠PAO＝∠APO＝30°，

∵PA＝PD，

∴∠D＝∠PAD＝30°，

∴∠APD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴∠OPD＝120°﹣30°＝90°，

∵OP为半径，

∴PD是⊙O的切线；

（2）①如图2，

∵四边形APBC是矩形，

∴∠ACB＝∠APB＝∠PAC＝∠PBC＝90°，

∴PC是⊙O的直径，

∴点O与点E重合，

在△APB和△DPE中，

∵∠PAB＝∠D，AP＝DP，∠APB＝∠DPE＝90°，

∴△APB≌△DPE（ASA），

∴AB＝DE＝2；

故答案为：2；

②如图3，

∵四边形OPBC是菱形，

∴PC、OB互相垂直平分，

∴OE＝BE＝2，

∴AE＝3，

∵PA＝PD，

∴DE＝AE＝3，

故答案为：3．