如图.C为线段AB的中点.点P从点A出发以acm/s的速度沿AB向点B运动.同时.点Q从点B出发以bcm/s的速度沿BA向点A运动.点Q运动的时间为t s.点P与点Q在点D相遇.AB=6CD．(1)求$\frac{b}{a}$的值,(2)点E为BQ的中点.当t=4时.PB=44cm.CE=26cm.求AB长及a值,的条件下.当点P与点E相遇时.点P停止运动.在点P与点E相遇的时刻.点R从� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．如图，C为线段AB的中点，点P从点A出发以acm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点B出发以bcm/s（b＜a）的速度沿BA向点A运动，点Q运动的时间为t s，点P与点Q在点D相遇，AB=6CD．
（1）求$\frac{b}{a}$的值；
（2）点E为BQ的中点，当t=4（点P，Q在运动的过程中）时，PB=44cm，CE=26cm，求AB长及a值；
（3）在（2）的条件下，当点P与点E相遇时，点P停止运动，在点P与点E相遇的时刻，点R从点D出发以3cm/s的速度沿DA向A运动，点P停止运动后，当t为何值时，RQ=$\frac{1}{2}$PE？

分析（1）根据路程=速度×时间，可知时间相同时，速度之比等于路程之比．由点P与点Q在点D相遇，得出$\frac{b}{a}$=$\frac{\frac{BD}{t}}{\frac{AD}{t}}$=$\frac{BD}{AD}$，然后利用中点的定义以及AB=6CD计算即可求解；
（2）由点E为BQ的中点，可得BE=$\frac{1}{2}$BQ．当t=4时，PB=AB-AP=AB-4a=AB-8b=44①，CE=BC-BE=$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{2}$×4b=$\frac{1}{2}$AB-2b=26②，将①与②联立，解关于AB与b的二元一次方程组，即可求解；
（3）在（2）的条件下，先求出点P与点E相遇时所用时间为12s，则BP=BE=12．再求出点P与点Q在点D相遇所用时间为10s，此时BD=20cm，然后分两种情况进行讨论：①R在Q的后面；②R在Q的前面．都根据RQ=$\frac{1}{2}$PE列出关于t的方程，解方程即可求解．

解答解：（1）∵C为线段AB的中点，AB=6CD，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=3CD．
∵点P从点A出发以acm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点B出发以bcm/s（b＜a）的速度沿BA向点A运动，点Q运动的时间为ts，点P与点Q在点D相遇，
∴AD=at，BD=bt，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\frac{BD}{t}}{\frac{AD}{t}}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BC-CD}{AC+CD}$=$\frac{3CD-CD}{3CD+CD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；

（2）∵点E为BQ的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BQ．
当t=4时，PB=AB-AP=AB-4a=AB-8b=44①，
CE=BC-BE=$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{2}$×4b=$\frac{1}{2}$AB-2b=26②，
①与②联立，解得AB=60，b=2，
则AB=60cm，a=2b=4cm/s；

（3）当AB=60cm，a=4cm/s，b=2cm/s，
设点P与点E相遇时所用时间为xs，
∵AP+BE=AB，
∴4x+$\frac{1}{2}$×2x=60，
解得x=12，
BP=BE=12．
点P与点Q在点D相遇所用时间为：$\frac{60}{4+2}$=10（s），此时BD=2×10=20（cm），
分两种情况：
①R在Q的后面时，如图1．
∵BR=BD+DR=20+3（t-12）=3t-16，
∴RQ=BQ-BR=2t-（3t-16）=16-t，
PE=BE-BP=$\frac{1}{2}$×2t-12=t-12．
∵RQ=$\frac{1}{2}$PE，
∴16-t=$\frac{1}{2}$（t-12），
解得t=$\frac{44}{3}$；
②R在Q的前面时，如图2．
∵BR=BD+DR=20+3（t-12）=3t-16，
∴RQ=BR-BQ=3t-16-2t=t-16，
PE=BE-BP=$\frac{1}{2}$×2t-12=t-12．
∵RQ=$\frac{1}{2}$PE，
∴t-16=$\frac{1}{2}$（t-12），
解得t=20．
故当t为$\frac{44}{3}$s或20s时，RQ=$\frac{1}{2}$PE．