Question

15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在对角线OB上，且OD=OC，CD的延长线交AB于点E，求点E的坐标．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出∠OCB=90°，BC=OC=OA=AB=1，OC∥AB，由勾股定理得出OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OD=OC=1，证出△BDE∽△ODC，得出对应边成比例求出BE，得出AE，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCB=90°，BC=OC=OA=AB=1，OC∥AB，
∴OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OD=OC=1，△BDE∽△ODC，
∴BD=$\sqrt{2}$-1，$\frac{BE}{OC}=\frac{BD}{OD}$，
即$\frac{BE}{1}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}$，
解得：BE=$\sqrt{2}$-1，
∴AE=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，
∴点E的坐标为（1，2$-\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，由相似三角形的性质求出BE是解决问题的关键．