Question

10．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：

（1）将下面的表格补充完整：

正多边形边数	3	4	5	6	…	n
∠α的度数	60°	45°	36°	30°	…	（$\frac{180}{n}$）°

（2）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α=21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据计算、观察，可发现规律：正n边形中的∠α=（$\frac{180}{n}$）°；
（2）根据正n边形中的∠α=（$\frac{180}{n}$）°，可得答案．

解答 解：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：

正多边形边数	3	4	5	6	…	n
∠α的度数	60°	45°	36°	30°	…	（$\frac{180}{n}$）°

（3）不存在，理由如下：
设存在正n边形使得∠α=21°，
得∠α=21°=（$\frac{180}{n}$）°．
解得：n=8$\frac{4}{7}$，n是正整数，n=8$\frac{4}{7}$（不符合题意要舍去），
不存在正n边形使得∠α=21°．

点评 本题考查了多边形内角与外角，每题都利用了正多边形的内角：$\frac{（n-2）180°}{n}$，三角形的内角和定理，等腰三角形的两底角相等．