已知∠MON=90°.OC为∠MON的角平分线.P为射线OC上一点.A为直线OM上一点.B为直线ON上一点.且PB⊥PA．(1)若点A在射线OM上.点B在射线ON上.如图1.求证:PA=PB,(2)若点A在射线OM上.点B在射线ON的反向延长线上.请将图2补充完整.并说明(1)中的结论是否仍然成立?如果成立.请证明,如果不成立.请说明理由,的前提下.以图3中的点O为坐标原点.ON所在的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知∠MON=90°，OC为∠MON的角平分线，P为射线OC上一点，A为直线OM上一点，B为直线ON上一点，且PB⊥PA．
（1）若点A在射线OM上，点B在射线ON上，如图1，求证：PA=PB；
（2）若点A在射线OM上，点B在射线ON的反向延长线上，请将图2补充完整，并说明（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（1）的前提下，以图3中的点O为坐标原点，ON所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设直线PA与x轴交于D，直线PB与y轴交于E，连接DE，如图3所示，若点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（2，0），求直线DE的函数解析式．

分析（1）如图1中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，只要证明△PQA≌△PRB．即可解决问题；
（2）如图2中，结论仍然成立．证明方法类似（1）；
（3）如图3中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，由△PQA≌△PRB．可得QA=RB，PQ=PR，设QA=RB=x，PR=OQ=OA-QA=6-x．PQ=OR=OB+BR=2+x，可得6-x=2+x，推出x=2，推出P（4，4），求出直线PA的解析式求出点D坐标，同法求出点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

解答（1）证明：如图1中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，

∵OC平分∠MON，
∴PQ=PR，
∵∠APB=∠QPR=90°，
∴∠APQ=∠BPR，
∵∠PQA=∠PRB=90°，
∴△PQA≌△PRB．
∴PA=PB．

（2）解：如图2中，结论仍然成立．
理由：作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，

∵OC平分∠MON，
∴PQ=PR，
∵∠APB=∠QPR=90°，
∴∠APQ=∠BPR，
∵∠PQA=∠PRB=90°，
∴△PQA≌△PRB．
∴PA=PB．

（3）解：如图3中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，

同理可得：△PQA≌△PRB．
∴QA=RB，PQ=PR，
设QA=RB=x，PR=OQ=OA-QA=6-x．PQ=OR=OB+BR=2+x，
∴6-x=2+x，
∴x=2，
∴P（4，4），
设直线PA的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{4k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线PA的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+6．
由y=0，解得x=12，
∴D（12，0），同理可得E（0，-4），
∴直线DE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-4．